Submission from: Student 1
Soit N un entier positif, on pose h=1N+1 . Soit A la N×N matrice définie par
A=1h2⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜2−1−12⋱−1⋱−1⋱2−1−12⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ .
Soitg⃗ ∈ℝN et soit v⃗ tel que Av⃗ =g⃗ .
On veut montrer que||v⃗ ||∞≤18||g⃗ ||∞ où on a noté ||g⃗ ||∞=max1≤i≤N|gi| .
Soit
On veut montrer que
1. (3 points) Montrer le résultats suivant. Pour tout z⃗ ∈ℝN , si
Az⃗ ≥0⃗ alors z⃗ ≥0⃗ (Ici z⃗ ≥0⃗ signifie que toutes les composantes zi≥0 ).
2. (1 point) Soitw⃗ le N -vecteur de composantes 12xi(1−xi) , où on a noté xi=ih , 1≤i≤N . Vérifier que
Aw⃗ =1⃗ , où 1⃗ est le vecteur de composantes un.
3. (2 points) En déduire que||g⃗ ||∞w⃗ −v⃗ ≥0⃗ et conclure.
2. (1 point) Soit
3. (2 points) En déduire que
Evaluation/feedback on the above work
Point 2. Ceci donne un point.
On a(Aw⃗ )1=2w1−w2h2=212x1(1−x1)−12x2(1−x2)h2=h(1−h)−h(1−2h)h2=1 .
De même(Aw⃗ )N=2wN−wN−1h2=1 et, pour 1<i<N , (Aw⃗ )i=2wi−wi−1−wi+1h2=1
On a
De même
Point 1. Ceci donne 3 points.
Soitz⃗ ∈ℝN tel que Az⃗ ≥0⃗ . Montrons zi≥0 , 1≤i≤N .
Soitk l'indice tel que zk≤zi .
Sik=1 , alors (Az⃗ )1≥0 s'écrit 2z1−z2h2≥0 et donc 2z1≥z2≥z1 , ce qui implique que z1≥0 , donc tous les zi sont positifs.
De même, sik=N , alors (Az⃗ )N≥0 s'écrit 2zN−zN−1h2≥0 et donc 2zN≥zN−1≥zN , ce qui implique que zN≥0 , donc tous les zi sont positifs.
Supposons maintenant1<k<N , alors (Az⃗ )k≥0 s'écrit 2zk−zk−1−zk+1h2≥0 et donc 2zk≥zk−1+zk+1 .
Puisquek est l'indice qui réalise le minimum, on obtient donc zk≥zk−1 et zk≥zk+1 et donc zk−1=zk=zk+1 .
On recommence le même raisonnement pour l'indicek−1 pour obtenir zk−2=zk−1=zk=zk+1 , et ainsi de suite jusqu'à l'indice k=1 :
z1=z2=⋯=zk−1=zk=zk+1 .
On est ramené au cas oùk=1 , donc tous les zi sont bien positifs.
Soit
Soit
Si
De même, si
Supposons maintenant
Puisque
On recommence le même raisonnement pour l'indice
On est ramené au cas où
Point 3. Ceci donne 2 points.
Soitg⃗ ∈ℝN et soit v⃗ tel que Av⃗ =g⃗ .
PuisqueAw⃗ =1⃗ on a A(||g⃗ ||∞w⃗ )=||g⃗ ||∞1⃗ et donc :
A(||g⃗ ||∞w⃗ −v⃗ )=||g⃗ ||∞1⃗ −g⃗ ≥0⃗ .
D'après le point 2, on en déduit que||g⃗ ||∞w⃗ −v⃗ ≥0 , soit encore v⃗ ≤||g⃗ ||∞w⃗ .
Il suffit de noter que
||w⃗ ||∞=12max1≤i≤N|xi(1−xi)|≤12max0≤x≤1|x(1−x)|=18
pour conclure que
v⃗ ≤18||g⃗ ||∞ .
Soit
Puisque
D'après le point 2, on en déduit que
Il suffit de noter que
pour conclure que