Quiz 5 : Système d'équations différentielles Help

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The due date for this quiz is Mon 31 Mar 2014 10:00 AM CEST.

Cochez les réponses justes.

Question 1

Soit u1,u2 la solution du système différentiel u1˙(t)=2u1(t)+u2(t)eu1(t), u2˙(t)=u1(t)2u2(t)eu2(t), t>0, avec u1(0)=u2(0)=0. Soit h>0 donné, tn=nh, n=0,1,2,3.... On considère le schéma d'Euler progressif et on note un1,un2 les approximations de u1(tn),u2(tn), respectivement.
Que valent u11,u12 ?

Question 2

Soit u1,u2 la solution du système différentiel u1˙(t)=2u1(t)+u2(t)eu1(t), u2˙(t)=u1(t)2u2(t)eu2(t), t>0, avec u1(0)=u2(0)=0. Soit h>0 donné, tn=nh, n=0,1,2,3.... On considère le schéma d'Euler rétrograde et on note un1,un2 les approximations de u1(tn),u2(tn), n=0,1,2,3..... Au premier pas de temps, u11,u12 satisfont le système non linéaire suivant :
u11u01+2hu11hu12+heu11=0,u12u02+2hu12hu11+heu12=0.
On écrit ce système non linéaire sous la forme f⃗ (u⃗ 1)=0⃗ u⃗ 1=(u11u12) et où f⃗ :22 est défini pour tout x⃗ =(x1x2)2 par f⃗ (x⃗ )=(f1(x1,x2)f2(x2,x2))=(x1u01+2hx1hx2+hex1x2u02+2hx2hx1+hex2). Calculer la matice jacobienne Df(x⃗ ). On note y1,y2 les approximations de u11,u12 obtenues après avoir effectué un pas de la méthode de Newton en partant de u01,u02. On a :

Question 3

Soit u1,u2 la solution du système différentiel u1˙(t)=2u1(t)+u2(t), u2˙(t)=u1(t)2u2(t), t>0, où u1(0),u2(0) sont donnés. On multiplie la première equation différentielle par u1(t), la deuxième par u2(t), on somme et on obtient :

Question 4

Soit u⃗ :+M la solution du système différentiel u⃗ ˙(t)=Au⃗ (t), t>0, où A est une M×M matrice symétrique définie positive et u⃗ (0) est donné. On effectue le produit scalaire entre l'équation différentielle et u⃗ (t). On note u⃗ u⃗ =u⃗ Tu⃗ =||u⃗ ||2=(u1)2+(u2)2++(uM)2. On obtient :
    
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