Learn more

Submission from: Student 1

Soit N un entier positif,  on pose h=1N+1. Soit A la N×N matrice définie par
A=1h22112112112.
Soit g⃗ N et soit v⃗  tel que Av⃗ =g⃗ .
On veut montrer que ||v⃗ ||18||g⃗ || où on a noté ||g⃗ ||=max1iN|gi|.




1. (3 points) Montrer le résultats suivant. Pour tout z⃗ N, si Az⃗ 0⃗  alors z⃗ 0⃗  (Ici z⃗ 0⃗  signifie que toutes les composantes zi0).

2. (1 point) Soit w⃗  le N-vecteur de composantes 12xi(1xi), où on a noté xi=ih, 1iN. Vérifier que Aw⃗ =1⃗ , où 1⃗  est le vecteur de composantes un.

3. (2 points) En déduire que ||g⃗ ||w⃗ v⃗ 0⃗  et conclure.

Evaluation/feedback on the above work

Point 2. Ceci donne un point.

On a (Aw⃗ )1=2w1w2h2=212x1(1x1)12x2(1x2)h2=h(1h)h(12h)h2=1.
De même (Aw⃗ )N=2wNwN1h2=1 et, pour 1<i<N, (Aw⃗ )i=2wiwi1wi+1h2=1

Point 1. Ceci donne 3 points.

Soit z⃗ N tel que Az⃗ 0⃗ . Montrons zi0, 1iN.

Soit k l'indice tel que zkzi.
Si k=1, alors (Az⃗ )10 s'écrit 2z1z2h20 et donc 2z1z2z1, ce qui implique que z10, donc tous les zi sont positifs.
De même, si k=N, alors (Az⃗ )N0 s'écrit 2zNzN1h20 et donc 2zNzN1zN, ce qui implique que zN0, donc tous les zi sont positifs.
Supposons maintenant 1<k<N, alors (Az⃗ )k0 s'écrit 2zkzk1zk+1h20 et donc 2zkzk1+zk+1.
Puisque k est l'indice qui réalise le minimum, on obtient donc zkzk1 et zkzk+1 et donc zk1=zk=zk+1.
On recommence le même raisonnement pour l'indice k1 pour obtenir zk2=zk1=zk=zk+1, et ainsi de suite jusqu'à l'indice k=1 :
z1=z2==zk1=zk=zk+1.
On est ramené au cas où k=1, donc tous les zi sont bien positifs.















Point 3. Ceci donne 2 points.

Soit g⃗ N et soit v⃗  tel que Av⃗ =g⃗ .
Puisque Aw⃗ =1⃗  on a A(||g⃗ ||w⃗ )=||g⃗ ||1⃗  et donc :
A(||g⃗ ||w⃗ v⃗ )=||g⃗ ||1⃗ g⃗ 0⃗ .
D'après le point 2, on en déduit que ||g⃗ ||w⃗ v⃗ 0, soit encore v⃗ ||g⃗ ||w⃗ .
Il suffit de noter que
||w⃗ ||=12max1iN|xi(1xi)|12max0x1|x(1x)|=18
pour conclure que
v⃗ 18||g⃗ ||.