Soit
u1,u2 la solution du système différentiel
u1˙(t)=−2u1(t)+u2(t)−e−u1(t),
u2˙(t)=u1(t)−2u2(t)−e−u2(t),
t>0, avec
u1(0)=u2(0)=0. Soit
h>0 donné,
tn=nh,
n=0,1,2,3.... On considère le schéma d'Euler rétrograde et on note
un1,un2 les approximations de
u1(tn),u2(tn),
n=0,1,2,3..... Au premier pas de temps,
u11,u12 satisfont le système non linéaire suivant :
u11−u01+2hu11−hu12+he−u11=0,u12−u02+2hu12−hu11+he−u12=0.
On écrit ce système non linéaire sous la forme
f⃗ (u⃗ 1)=0⃗ où
u⃗ 1=(u11u12) et où
f⃗ :ℝ2→ℝ2 est défini pour tout
x⃗ =(x1x2)∈ℝ2 par
f⃗ (x⃗ )=(f1(x1,x2)f2(x2,x2))=(x1−u01+2hx1−hx2+he−x1x2−u02+2hx2−hx1+he−x2). Calculer la matice jacobienne
Df(x⃗ ).
On note
y1,y2 les approximations de
u11,u12 obtenues après avoir effectué un pas de la méthode de Newton en partant de
u01,u02. On a :